Thursday, October 13, 2016

Definisi Gelanggang (Ring Theory) dalam Matematika

Definisi Gelanggang/Ring dalam Matematika

Assalamu'alaikum warohmatullahi wabarokatuh. Dalam posting kali ini saya akan membahas tentang salah satu materi pelajaran matematika khususnya Struktur Aljabar yaitu Gelanggang. Gelanggang dalam bahasa Inggris disebut Ring.

Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia "Gelanggang (ring) adalah salah satu struktur aljabar, yang memiliki 2 (dua) operasi biner, yang biasanya disebut operasi "penjumlahan" dan "perkalian". Ini berbeda dengan grup yang hanya memiliki satu operasi biner." Definisi gelanggang secara matematis adalah sebagai berikut.

Definisi Gelanggang (Rings)

Misal R himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (x) disebut gelanggang (ring) jika dan hanya jika :

1. (R,+) grup abelian/grup komutatif.
Himpunan R dengan operasi penjumlahan (R,+) merupakan grup abelian atau grup komutatis jika memenuhi sifat :
Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
Memiliki Unsur Identitas
Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.

Setiap Elemen Memiliki Invers
Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
Komutatif
a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.

2. (R,x) semigrup.
Himpunan R dengan operasi perkalian (R,x) merupakan semigrup jika memenuhi sifat :
Tertutup
Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
Asosiatif
a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.

3. (R,+,x) distributif.
Himpunan R dengan operasi perkalian dan penjumlahan (R,+,x) memiliki sifat distributif jika :
Distributif Kanan
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
Distributif Kiri
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc

Perlu sobat ingat bahwa operasi perkalian tidak saya tuliskan, jadi misalnya ab sebenarnya adalah perkalian antara a dan b, a x b.

Jadi syarat agar suatu himpunan dikatakan gelanggang atau ring harus memenuhi sifat grup abelian terhadap penjumlahan, semigrup terhadap perkalian, serta distributif terhadap perkalian dan penjumalah. Untuk lebih jelasnya sobat bisa melihat gambar berikut ini.
Definisi Gelanggang/Ring dalam Matematika
Contoh himpunan yang merupakan gelanggang :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat

Definisi Gelanggang Komutatif (Abelian Rings)

Misal R gelanggang, R disebut gelanggang komutatif (abelian rings) jika dan hanya jika : untuk setiap a,b ∈ R maka berlaku ab = ba (operasi perkalian).
Contoh himpunan yang merupakan gelanggan komutatif :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional

Gelanggang dengan Unsur Kesatuan

Gelanggang R disebut gelanggang dengan unsur kesatuan jika dan hanya jika terdapat 1R ∈ bilangan real sehingga untuk setiap a ∈ R berlaku a⋅1R = 1R⋅a = a.
Contoh himpunan yang merupakan gelanggan dengan unsur kesatuan :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional
  • Bilangan matriks 2x2 elemen real

Gelanggang Tanpa Pembagi Nol

Gelanggang R disebut gelanggang tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ R dengan ab = 0R berakibat a = 0R atau b = 0R.
Contoh himpunan yang merupakan gelanggan tanpa pembagi nol :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional

Integral Domain/Daerah Integral

Gelanggang R disebut integral domain atau daerah integral jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan tidak memuat pembagi nol.
Contoh himpunan yang merupakan daerah integral :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional

Division Ring

Gelanggang R disebut "Division Ring" jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap operasi perkalian.
Contoh himpunan yang merupakan division ring :
  • Bilangan real
  • Bilangan bulat
  • Bilangan rasional

Field/Lapangan

Gelanggang R disebut field atau lapangan jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap perkalian.
Contoh himpunan yang merupakan division ring :
  • Bilangan real
  • Bilangan rasional

Karakteristik Gelanggang (Ring)

Karakteristik dari suatu gelanggang R adalah bilangan asli terkecil sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R, n ∈ bilangan asli. Jika tidak ada bilangan asli sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R maka karakteristik dari gelanggang R disebut "memiliki karakteristik nol" atau "karakteristik tak hingga".

Mungkin cukup sekian dari saya, semoga bisa bermanfaat, kalau ada yang ingin sobat tanyakan silakan sampaikan pada kotak komentar yang ada dibawah atau bisa juga melalui halaman contact blog ini. Terima kasih, assalamu'alaikum warohmatullahi wabarokatuh.
Disqus Comment
Parse Tool